12va Edición | DICIEMBRE 2023 | ISSN 2618-1894 | Artículos científicos
SISTEMAS DE ANÁLISIS Y MÉTRICAS UTILIZADAS POR
LAS TÉCNICAS BASADAS EN GRAFOS QUE MODELIZAN
ESTRUCTURAS ORGANIZACIONALES
ANALYSIS SYSTEMS AND METRICS USED BY GRAPH-BASED
TECHNIQUES THAT MODEL ORGANIZATIONAL STRUCTURES
Molina, Alejandro
1
Fernández Madarieta, Germán
2
Castagnet, Ernesto
3
Buffone, Fernando Andrés
4
Molina, A., Fernández Madarieta, G., Castagnet, E. y Buffone, F. A. (2023). Sistemas de
análisis y métricas utilizadas por las técnicas basadas en grafos que modelizan
estructuras organizacionales. Revista INNOVA, Revista argentina de Ciencia y Tecnología,
12.
RESUMEN
Este trabajo presenta una revisión de los fundamentos utilizados en los métodos de
análisis y métricas para modelos de estructuras organizacionales basados en grafos.
Para ello se revisan las propiedades de los grafos sobre las que se basan las distintas
técnicas que se utilizan. Definidas las propiedades, se detallan las bases de los métodos
de análisis y medición; para por último describir las técnicas y métodos de análisis y
medición más frecuentemente utilizados.
ABSTRACT
This paper presents a review of the fundamentals used in the analysis methods and
metrics for organizational structure models based on graphs. For this, the properties of
the graphs on which the different techniques used are based are reviewed. Once the
1
Facultad Regional Buenos Aires - Universidad Tecnológica Nacional, Argentina /
ale_molina@frbb.utn.edu.ar
2
Facultad Regional Buenos Aires - Universidad Tecnológica Nacional, Argentina /
gfernandez@frbb.utn.edu.ar
3
Facultad Regional Buenos Aires - Universidad Tecnológica Nacional, Argentina/ ecastagnet@uns.edu.ar
4
Facultad Regional Buenos Aires - Universidad Tecnológica Nacional, Argentina/ fbuffone@frbb.utn.edu.ar
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properties are defined, the bases of the analysis and measurement methods are
detailed; to finally describe the techniques and methods of analysis and measurement
most frequently used.
PALABRAS CLAVE
revisión, grafos, estructuras organizacionales.
KEY WORDS
review, graphs, organizational structures.
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1.- Introducción
En 1930 Jacob Levy Moreno (Levy Moreno, 1930) inicia los que sería la sociometría, que
buscó indagar la evolución y organización de grupos de personas y la posición de los
distintos individuos en dichos grupos, valiéndose de técnicas cuantitativas, como las
matrices y los diagramas, para representar dichas relaciones. Aguirre (Aguirre, 2011)
planteó como supuesto teórico que el comportamiento de los individuos se podría
explicar mediante las interrelaciones y los métodos que se utilizan, esto implica
relacionar grafos matemáticos con problemas sociales para graficar y medir las
relaciones, así se constituyó en el principal antecedente del análisis de grafos. Este
sistema de interrelaciones personales conforma patrones de organización no evidentes
y solo surgen por inferencias a partir del análisis topológico de los grafos. Hay que
buscar información para construir modelos que difieren de los modelos estadísticos
convencionales, indagando las vinculaciones de los miembros de estos grupos.
Si bien las técnicas de recolección de datos pueden ser convencionales, la información
que se busca para este estudio debe permitir realizar inferencias sobre las relaciones
entre los individuos orientándose a indagar sobre las relaciones de carácter múltiple y
diverso para determinar el principio o causa del comportamiento del grupo
indistintamente del tipo de relación (parentesco, amistad, laboral, etcétera). El grafo
obtenido representa el segundo nivel para el análisis en forma de grafos o redes
organizacionales. En él se representan las relaciones entre los individuos que la
investigación determino previamente en forma matemática en una matriz de datos.
Según Fernández (Fernández, 2008), esta teoría es la que proporciona el soporte para
la elaboración y aplicación de estos grafos, donde se consideran estos elementos
fundamentales:
• Arcos: Su existencia o no entre dos nodos, supone la presencia o ausencia de
relación entre ellos y pueden considerarse:
- adyacentes: poseen una relación entre ellos sin mediaciones
- desconectados: carecen de esta relación.
• Direccionalidad: la línea tiene un sentido desde un individuo a otro, pudiendo
ser de diversos tipos:
- Direccional: la línea indica con una flecha el sentido de la relación
(grafo direccional o dirigido), pudiendo ser:
* unidireccional
* bidireccionalidad
- No-direccional: solo conecta dos individuos entre sí.
• Valor: Se puede adicionar más información cuando las relaciones son
ponderadas mediante un número, pudiendo ser según este criterio:
- Valorada: el número refleja alguna propiedad de la relación
- No-valorada: solamente establece una relación.
Dentro de los grafos más usados, los grafos son construcciones integradoras que
describen grupos de individuos y al estudiarlas se puede comprender su
comportamiento a través de métricas o indicadores, para caracterizar a los individuos
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que la componen y medir las relaciones que se dan entre ellos. Usando instrumentos
computacionales ha cambiado la forma de lograr un mejor conocimiento y análisis de
estos grafos, ya que permiten utilizar muchos datos de diferentes fuentes, para calcular
métricas en forma simple, ordenada y generar grafos para lograr una mejor
comprensión de las conclusiones del análisis realizado (Newman, 2010). Así mejora y se
agiliza la interpretación y discusión de resultados (Kuz et al. 2016). La tabla 1 muestra las
propiedades de un modelo basado en grafos que son susceptibles de ser utilizadas
como base de los métodos de análisis y de obtención de métricas.
Tabla 1. Propiedades que caracterizan a un modelo basado en grafos
Para la evaluación de estos grafos existen distintos criterios, pero siguiendo la propuesta
de Madariaga y Ávila-Toscano (2012) se puede distinguir cuatro mecanismos de
valoración para grafos: la definición de las propiedades generales; el método de
visualización (es un recurso analítico para visualizar las dinámicas); el análisis de las
características posicionales de los nodos y; la identificación de agrupaciones del grafo.
Sobre la base de estas categorías podemos hacer una revisión mas profunda.
2.- Clasificación de los métodos de análisis de estructuras organizacionales
mediante grafos
Tomando como punto de partida las conclusiones de Ávila-Toscano sobre la existencia
de cuatro categorías metodológicas para el análisis de grafos
2.1.- Evaluación de Grafos centrada en las propiedades generales
Para evaluar las propiedades de un grafo se requiere tipificarla, y siguiendo los
lineamientos propuestos por Madariaga y Ávila-Toscano (Madariaga y Ávila-Toscano,
2012), hay cuatro modelos de grafos distinguibles en una primera aproximación: las
regulares; la de mundo pequeño; las aleatorias; y las libres de escala.
2.1.1.- Grafos regulares
Se definen así a los grafos donde cada nodo tiene exactamente el mismo número de
enlaces, estos grafos generalmente están muy ordenados. En este cada nodo se conecta
a todos sus nodos más cercanos, por lo tanto, todos los nodos tienen igual número de
arcos en todos sus vértices. Como todos los vértices tienen el mismo grado que es
constante, el grafo regular puede caracterizarse por su grado como muestra la figura 1.
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Figura 1. Grafos de distintos grados
Mediante la utilización de estos grafos se caracterizan enjambres, escuelas, rebaños y
bandadas donde el comportamiento de cada individuo depende del comportamiento de
los nodos más cercanos. No todos los grafos regulares, tienen una alta conectividad
debido a que grafos de estructuras complejas requieren un trayecto muy largo para
recorrer todos sus nodos.
2.1.2. Grafos de mundo pequeño
Estos grafos tienen trayectorias cortas entre nodos exteriores (algunos autores la
denominan de diámetro pequeño) y un gran nivel de agrupamiento (Mejías, 2010),
también puede decirse que la trayectoria entre dos nodos cualquiera es pequeña
respecto del tamaño del grafo (Monsalve, 2008). Stanley Milgram (Stanley Milgram,
1963), evaluó la distancia promedio entre nodos que constituían grafos de contacto y
formuló la teoría del mundo pequeño (OEA, 2013). Milgram psicólogo social de la
Universidad de Harvard, señaló que en este tipo de grafos aplicados en grupo de amigos
se podía llegar a establecer contacto con cualquier persona mediante unas pocas
conexiones (Aguirre, 2011). Para ello realizó un experimento repartiendo una carta a
personas seleccionadas al azar en las ciudades de Omaha y Wichita, tratando que fuera
recibida por un corredor de Bolsa residente en Sharon (Massachusetts) y que trabajaba
en Boston, pero las personas a las que enviaron las cartas no conocían al destinatario
final. Los participantes solo podían enviar la carta a una persona conocida que creyeran
que estaría más cerca del destinatario final, y estas a su vez deberían cumplir con el
mismo requisito. Se enviaron 296 cartas, llegando solo 64 a destino con un promedio
aproximado de 6 reenvíos, de modo que tomando estos domos la longitud promedio de
la trayectoria entre nodos del grafo que formaban todos los habitantes de estas
ciudades. Estos seis grados de separación como principio, fue popularizado por John
Guare, un escritor que usó esa frase en una obra teatral de Broadway, dando origen a la
idea de que las personas del mundo están más conectadas de lo que creen estarlo.
Como resultado, el estudio permitió establecer que la cantidad de conocidos de una
persona crece exponencialmente a partir del número de enlaces de su red personal, y
que solo se necesitaban como mínimo seis grados de separación para conectar a dos
personas seleccionadas al azar (Aguirre, 2011). También se estableció por el
experimento de Milgram que alrededor del 60% de las trayectorias pasaban a través de
unas mismas 4 personas, lo que supondría que no todos están conectados con el resto,
sino que unas pocas personas que están demasiado conectadas, siendo importantes
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conectores para las otras personas se conecten entre sí. Estos conectores, crean atajos
que permiten que recursos e ideas pasen a través del grupo sin necesidad de seguir
trayectorias largas, lo que hace al grafo potencialmente frágil, ya que desaparición de
algunos desbarataría el grafo (Tercero, 2013). La importancia de este experimento es
que permitió considerar que, en una estructura de relaciones agrupada por rasgos de
parentesco, laborales, profesionales, geográficos o de afinidad, se presentan relaciones
que conforman grafos que se forman a partir de la concurrencia de relaciones estables
identificadas como mundos pequeños. A partir de él se comenzó una gran cantidad de
experimentos similares en busca de nuevas teorías.
En 1998, Duncan Watts y Steven Strogatz (1998), demostraron que estos grafos no se
encuentran solamente en grupos de personas, sino también en redes de tendido
eléctrico y en neuronas humanas. Solo hay que agregar pocas conexiones a los nodos
unidos en forma regular a sus vecinos cercanos en un grafo, produciendo
interconexiones entre los grupos, lo que aumenta la velocidad de la comunicación en él.
A pesar de las críticas a este modelo Perianes-Rodríguez, Olmeda-Gómez y Moya-
Anegón (2008) señalan que los grafos de mundo pequeño se han verificado y aplicado
en distintas disciplinas y a grafos reales, pudiendo convertirse estas en grafos de mundo
pequeño. Watts (Watts, 1999) indicó que aún existen respuestas a todas las preguntas
sobre su aplicación, ya que esta teoría ofrece representaciones simples de fenómenos
complejos, pero es un adelanto significativo para explicar una sociedad emergente, ya
que las redes de organizaciones, redes personales, redes de conocimiento o la misma
red de Internet, son poderosas imágenes que se acercan a la realidad social
contemporánea, la cual interesa explicar.
2.1.3. Grafos aleatorios.
Los matemáticos Erdós y Rényi formularon esta teoría para explicar cómo se generan
redes de gran escala buscando ver grafos complejos a partir de un análisis simple.
Diseñaron modelos estocásticos para generar relaciones entre nodos, asignándoles un
carácter al azar a cada relación (Barabási, 2003).
Para exista un grafo de este tipo, al menos una conexión por nodo debería responder a
una distribución normal o gaussiana de relaciones, la curva que la representa tiene
forma de campana, donde el máximo corresponde a la media, la mediana y las otras
relaciones se asignan aleatoriamente en secuencias de asignación. A partir de esta
teoría se han hecho avances significativos para patrones, estructuras y evolución de los
grafos aleatorios, pero no se lograron los mismos resultados al aplicarlos grafos en el
mundo real donde las relaciones no son aleatorias, sino que se deben a patrones de
conectividad no evidentes, con inferencias complejas y distribuciones de las relaciones
entre los nodos que no son gaussianas. Su éxito radica en la utilidad para explicar la
formación de todo el grafo y el contexto en que las condiciones existentes permiten que
grupos aislado de nodos y pequeños grafos se conectan uno solo (Aguirre, 2011).
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2.1.4. Grafos libres de escala
Según Mejía (Mejía, 2010), en estos grafos se identifica algún nodo con grado elevado,
se conecta a otro nodo que también tiene un grado de valor elevado, así los enlaces del
grafo se concentran en un pequeño número de nodos. Según Perianes-Rodríguez
(2008), en los grafos reales no se puede definir un patrón para determinar el grado de
conexión de sus nodos, solo que este tipo de grafos implica una relevancia particular de
una cantidad pequeña de nodos. Así, estos enlaces son más factible de existir en la
realidad que con los grafos aleatorios, pues existen más nodos con pocos enlaces que
muchos enlaces con nodos como sería el caso de un grafo aleatorio.
Para Micelis (2006), el grafo libre de escala se rige por leyes “power-law” en las cuales el
máximo de su distribución no es el valor promedio e inician con un valor máximo que se
continúa hacia infinito, algo que en casos reales se presenta en casos como la
distribución del ingreso, fenómeno estrictamente económico, donde en un grupo de
individuos aquellos que tienen riqueza se vuelven más ricos con mucha facilidad y los
que tienen pobreza no pueden adquirir riqueza que probablemente se vuelvan más
pobres. La figura 2 muestra un grafo de escala, su distribución y el número de enlaces
nodales.
Figura 2. Grafo de escala
Torres (Torres, 2018) observa que, en los grafos libre de escala, frecuentemente un nodo
crece en enlaces de forma proporcional a su tamaño, sin que haya un parámetro de
escala que indique, que al llegar a un cierto número de enlaces ya no se pueden ganar
más enlaces o se deben agregar más lentamente. Si bien es posible obtener un
promedio de los valores a obtener, este no sirve pues estos grafos tienen elementos con
diferentes relaciones, sin que haya una escala característica.
Simon (Simon, 1957) señala que las curvas correspondientes a las distribuciones por ley
de potencia presentan colas largas y hay una probabilidad pequeña de hallar nodos que
sean muy grandes en comparación con la media de ellos. Por lo tanto, la distribución no
es normal como habitualmente sucede y una distribución por ley de potencia no es
simétrica en torno a su máximo, presentando una pendiente pronunciada y concluyendo
en una larga cola.
Perianes-Rodríguez (Perianes-Rodríguez et al. 2008) plantea que este modelo
demuestra avances frente a los grafos aleatorios y de mundos pequeños debido a que
estas últimas presentan condiciones que no se cumplen en grafos reales. Inicialmente
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está el hecho que en los grafos aleatorios se parte de la idea que un gran número de los
nodos se unen por azar, sin embargo, en el mundo real los grafos tienden a ser más
abiertos y a crecer con el tiempo por la adición de nuevos miembros, y en segundo lugar,
la idea del patrón aleatorio de relaciones implica uniformidad en las conexiones pero
realmente los nodos de los grafos muestran preferencias al momento de seleccionar a
los nodos con quienes interactuar. Reynoso (Reynoso, 2008) plantea para estos grafos,
que, dada su distribución, las técnicas estadísticas tradicionales son inadecuadas al
presuponer distribuciones gaussianas, algo que las ciencias sociales han ignorado.
Los centros de actividad (también llamados “hubs”) en grafos libres de escala permiten
su estabilidad estructural y su comportamiento dinámico permite ver su evolución al
aplicarse a principios organizacionales. Por ello, la autoorganización y el
comportamiento emergente de los grafos deben entenderse por la distribución en leyes
de potencia que permite orientar su desempeño.
Al dedicarse a los “hubs” se puede indagar más eficientemente la estructura del grafo,
pues al abordar muchos y diversos nodos, se puede diseñar estrategias de muestreos
basadas en la construcción de sociogramas que mapeen las relaciones de los “hubs”
identificados, como por ejemplo a través de muestreo “snowball sampling” propuesto
por Goodman (Goodman, 1960) que presenta los mejores resultados cuando no es
posible censar a todo el grafo.
Aguirre (Aguirre, 2011), postula que la heterogeneidad está en las particularidades de
cada actor sino en la posición que estos tienen dentro del grafo y cómo sus
características se articulan con la lógica de conectividad existente. Así, los muestreos
estadísticos convencionales no son apropiados si se busca abordar las particularidades
posicionales de los nodos dentro de un grafo. También es posible que algunas
investigaciones orientadas por el análisis de grafos, en las que las posiciones
particulares de los nodos no sean importantes como el estudio de las transacciones o
flujos en sí, los muestreos aleatorios puedan funcionar de forma eficiente, pero si el
objetivo es indagar sobre la dinámica de los grafos y su efecto en la acción, opciones y
preferencias de sus nodos, es preciso una mirada crítica sobre estos métodos y, en su
lugar, examinar diseños de investigación novedosos que den cuenta de la distribución
en leyes de potencia de las relaciones y el rol estratégico de los “hubs”.
En esta categoría se encuentran los grafos jerárquicos donde la que divide al grafo en
niveles o capas con funciones específicas que permiten dividir el grafo en secciones de
fácil crecimiento y mantenimiento. Se desarrolla de forma similar a la topología vertical
o de árbol, pero esta no conecta nodos, sino “hubs” y es llamada también topología en
estrella extendida.
Molloy y Reed (1995) concliyeron que la estructura jerárquica puede explicar y reproducir
en forma cuantitativa propiedades topológicas observadas en los grafos, también el
conocimiento de la estructura jerárquica se puede usar para predecir conexiones
faltantes con alta precisión y para estructuras de grafos generales que las técnicas de la
competencia. Finalmente, la jerarquía es un principio organizador central de los grafos
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complejos, capaz de ofrecer información sobre diversos fenómenos estructurales de
ellos (Clauset, Moore & Newman, 2008)
2.2.- Evaluación de grafos centrada en la visualización.
Según Rheingans y Landreth (Rheingans y Landreth, 1995) es la capacidad de generar
comunicaciones visuales de cierto tipo de información con el propósito de presentar
datos más fácilmente. Para ello se aplican de métodos basados en el cálculo matemático
de información significativa de conjuntos complejos de datos, generando grafos o
imágenes interactivas (Luján, Martig y Castro, 2008). En los últimos años hubo un avance
significativo en el desarrollo de tecnologías para la visualización de información,
permitiendo interactuar directamente con la información visualizada mediante
interfaces dedicadas a este propósito (Medrano, Alonso & Figueroa, 2010). Esta es una
técnica para explorar gráficamente las propiedades de la estructura de permitiendo
también la formulación de explicaciones a las interacciones que se desarrollan en ellas
(Madariaga y Ávila-Toscano, 2012).
Siguiendo a Tufte (Tufte, 1997), la calidad de las visualizaciones de los gafos favorece la
identificación de conocimientos de gran valor sobre dichas, generando incluso,
propiedades explicativas. Brandes, Raab y Wagner (Brandes, Raab y Wagner, 2001),
señalan que las visualizaciones son una herramienta que facilita la detección de
propiedades esenciales de los grafos como: características de los nodos, los lazos
vinculares, estructuras generales y resultados. De igual forma, se ha identificado que las
visualizaciones de grafos cuentan con características explicativas especialmente de las
posiciones estructurales de los nodos (Brandes, Kenis, Raab, 2005). Finalmente, esta
herramienta ofrece aportes al estudio de grafos ya que posibilita al investigador la
realización de filtrado de datos, identificación de patrones y poder explicar las
observaciones realizadas en dichos grafos (Brandes et al. 2005).
2.3. Evaluación de grafos centrada en la posición de los nodos.
Hanneman y Riddle (Hanneman y Riddle, 2005) postularon que hay un gran valor en el
cálculo de las medidas de centralidad y poder, dentro del análisis de grafos, las cuales
se basan en identificar la posición de los nodos que ofrecen ciertas características
especiales dentro del grafo. Los nodos con mejores posiciones tienen mayor
probabilidad de ejercer poder y ser centrales, dado que tienen un mayor nivel de
importancia en el grafo. En las relaciones, el poder es una propiedad fundamental y se
considera como una característica inherentemente relacional en la medida que el mismo
es una consecuencia de los patrones de relaciones (Madariaga y Ávila-Toscano, 2012).
En los grafos que se generan con un bajo nivel de interacción se observa una baja
densidad relacional lo cual conduce a niveles de poder también reducidos, lo contrario
que sucede en grafos más densos. Los nodos con mayor centralidad y poder gozan de
mejores posiciones y cuentan con un número menor de restricciones para la integración
con otros nodos (Hanneman y Riddle, 2005). Existe una serie de métricas para entender
los grafos y la posición de sus nodos que ayudan a determinar la importancia y el rol de
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un nodo en el grafo. Las más usadas se dividen en métricas de centralidad y poder, y
métricas de grupos (Kuz et al. 2016).
2.4.- Evaluación de grafos centrada en la identificación de subagrupaciones.
La centralización es una medida para identificar hasta donde un grafo es o no una figura
centralizada, también existen medidas para identificar si un grafo está o no organizado
en relación a sus puntos más centrales. Hanneman y Riddle (2005) y Madariaga y Ávila-
Toscano (2012) señalan que el análisis de grafos permite conocer la forma como los
nodos que integran un grafo facilitando reconocer las interacciones locales entre nodos,
pero un problema que todavía persiste en el análisis de grafos es descubrir las diversas
clases y subgrupos con cierta entidad para poder dividir un grafo. Lo implica que dentro
de un grafo es posible identificar sub estructuras formadas por la unión de nodos cuya
interacción se basa en la similitud de los lazos. Herrero (Herrero, 2000), observa que para
formar y analizar subgrupos, hay que agrupar a los nodos en torno a alguna categoría
significativa para los objetivos del análisis cuando se identifican las pautas de la
formación de un grafo. En grafos simples, no se puede comprender la centralidad de los
nodos, incluso hay diferentes interpretaciones del contexto de la centralidad (Borgatti y
Everett 2006).
Algunos enfoques con los conceptos básicos de centralidad serían:
• Un primer enfoque es que la cantidad de contactos directos de un nodo es un
indicador útil de centralidad. La ventaja de este enfoque es la interpretación de
comunicabilidad de estos resultados es relativamente fácil.
• En un segundo enfoque, sigue la idea de que nodos con una corta distancia a
otros nodos pueden compartir información de manera más efectiva y ocupan
una posición central. Un ejemplo de este enfoque es la centralidad de cercanía,
en la cual se considera que un actor está involucrado centralmente, si necesita
de pocos intermediarios para contactar a otros y por lo tanto es
estructuralmente independiente. Como consecuencia, en este cálculo se incluye
la longitud de las rutas más cortas a todos los demás nodos en el grafo.
• El tercer enfoque vincula a la centralidad con el control del flujo de información
que un nodo puede ejercer en función de su posición. Se supone que la
comunicación e interacción entre dos nodos no directamente relacionados
depende de los nodos que intervienen. Como ejemplo surge la centralidad de
intermediación, basada en el cociente del número de caminos más cortos entre
los nodos del grafo que incluyen el nodo y el número de caminos más cortos en
el grafo.
Estos conceptos prestan poca atención a los contactos indirectos y es donde entran las
llamadas medidas de influencia, que consideran que los nodos están centralmente
involucrados en el grafo, si los nodos conectados directamente están en relación con un
alto número de otros nodos bien conectados. Una de estas medidas corresponde a la
centralidad del vector propio (Bonacich 1972). Finalmente, para el cálculo matemático
de cada medida de centralidad se han desarrollado diferentes algoritmos que pueden
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variar significativamente en términos de complejidad (Landherr, Friedl & Heidemann,
2010).
3.- Métricas e indicadores para el análisis de grafos.
Es importante comprender la relación entre métricas e indicadores y como utilizarlas en
el análisis de grafos (Hanneman & Riddle, 2005). La métrica, es este contexto, es una
medida cuantificable utilizada para medir progreso, por ello se toman datos de una
fuente de información y se actualiza en forma constante, monitoreando su
desenvolvimiento hasta obtener su objetivo. El indicador en cambio, es utilizado en la
designación de hitos significativos de referencia para que el grafo cumpla su objetivo.
Tanto métricas como indicadores deben ser próximos a los objetivos del grafo. Una
descripción de métricas e indicadores, a partir de la bibliografía consultada puede
hacerse tomando y definiendo métricas o indicadores, agrupándolas en nueve ámbitos:
• tamaño del grafo
• conexión del grafo
• núcleos
• análisis de subgrupo
• equivalencias de los nodos
• descomposición del grafo
• centralidad de los nodos
• centralización del grafo
• eficiencia del grafo.
Para tener más claridad frente a estos conceptos a continuación se definen de forma
amplia:
3.1.- Tamaño de un grafo.
Hanneman y Riddle (Hanneman y Riddle, 2005) sostienen que es crítica la dimensión del
grafo para analizar su estructura y sus relaciones debido a que siempre se dispone de
recursos limitados y las escasas capacidades de actor para construir y mantener
vínculos. Cuando un grupo crece, las proporciones de los vínculos disminuirán su
densidad y probablemente surjan subgrupos o fracciones con bastantes diferencias.
Según Torres (Torres, 2018), las principales propiedades estructurales son la cantidad de
nodos y de relaciones, enlaces o vínculos.
3.1.1.- Número de nodos.
Es la suma de todos los nodos, representados por los nodos del grafo, que están
conectados o son parte del grafo. Este valor recibe el nombre de orden del grafo N y da
la primera noción de su estructura, Para un grafo con nodos ni, donde i = 1, 2,…, N se
obtiene de:
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3.1.2.- Número de enlaces.
Se denomina A al número de aristas a de las relaciones k entre los nodos ni y nj, con i =
1, 2,…, N, los nodos de origen y j = 1, 2,…, N los nodos de destino. Para casos reales estos
números son grandes por ello se requiere utilizar técnicas computacionales. La arista es
la línea existente entre un par de nodos no ordenado y da cuenta de un enlace, relación
o vínculo entre nodos del grafo. Para grafos dirigidos el sentido de la relación es
específica y recibe el nombre de arco. Polanco (Polanco, 2006) señala que las aristas y
los arcos se diferencian en es que estos son pares ordenados de nodos y este orden
refleja la dirección del enlace. Siguiendo a Torres (Torres, 2018), los arcos o aristas
indican que las correspondientes entidades están conectadas, enlazadas, interactúan o
están relacionadas entre sí y el número total se puede calcular a partir de la matriz
adyacente. Se obtiene:
Para un grafo no dirigido con auto enlaces:
Para un grafo no dirigido sin auto enlaces (izquierda), para un grafo dirigido (derecha):
Un grafo G no dirigido es un par de conjuntos G = (V, E) donde: V = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 }, es
el conjunto de nodos, y A = {(𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ),...} es un conjunto de pares de vértices no
ordenados de V. Se define a una ruta de un nodo a otro nodo a una secuencia de nodos
{𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑘 }, donde no hay nodos repetidos.
La matriz adyacente es una de las formas más comunes de representar un grafo y facilita
su manipulación matemática. La matriz adyacente de un grafo G = (N, A) de orden |V| =
N es una matriz A = (a i, j) con 1 ≤ i, j ≤ n. La cual se trata de una matriz numérica de ceros
y unos.
3.2. Conexión del grafo.
Freeman (Freeman, 1978) describe los distintos tipos de interconexión entre nodos de
un grafo, los cuales pueden conocerse mediante las siguientes métricas:
3.2.1. Accesibilidad.
Mide en que forma los nodos, directa o indirectamente, se conectan o relacionan con
todos los otros nodos del grafo. Los nodos no conectados se los llama aislados (Kuz et
al.2016). Cuando algún nodo no vincularse con otros, existe una potencial división del
grafo, también indicaría que se está en presencia de un grafo inconexo, o que está
compuesto de más de un subgrupo (Hanneman y Riddle, 005).
La figura 3 muestra dos grafos, en el de la izquierda, se tiene un grafo inconexo con
pocos enlaces entre los nodos, si a estos se agregan enlaces se puede obtener un grafo
conexo integrado como se muestra en el grafo de la derecha.
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Figura 3. Grafos inconexos y conexos integrados
La accesibilidad como medida, es el número de veces que es necesario atravesar un arco
para llegar a un nodo dado, se expresa como la distancia d ó el número de arcos que es
necesario recorrer para llegar al nodo más distante por el camino más corto. Bautista
(Bautista, 2018) señala que, si la distancia es baja, la accesibilidad aumenta. Para su
cálculo:
3.2.2. Cohesión.
Bautista (Bautista, 2018) señala que la cohesión permite establecer una relación, vínculo
o enlace entre dos nodos, que indican el alcance de un nodo respecto a otro, mediante
el número de conexiones posibles. Esto representa la existencia de un conjunto de
conexiones entre dos nodos, con los cuales es posible hallar una ruta desde un nodo
origen hasta uno destino, sin considerar cuántos nodos puedan estar entre ellos. Si los
arcos están dirigidos, es posible que pueda llegar al nodo de destino, pero el nodo de
destino no pueda llegar al nodo origen. Si los arcos son recíprocos, cada par de nodos
son accesibles si están conectados entre sí (Hanneman y Riddle 2005).
Una forma alternativa de ver la cohesión en un grafo dirigido, es mediante la
conectividad de vértice de un gráfico, que permite saber la conectividad mínima de
todos los pares de nodo ordenados. O sea, es el número mínimo de arcos que se tienen
que eliminar para que el grafo no esté fuertemente conectado, dado que, si el grafo no
está fuertemente conectado, la cohesión es cero.
Madrid y Ortiz (Madrid y Ortiz, 2005) señala que esta medida describe también el grado
de cohesión que presenta un grafo mediante el número de arcos dividido el número de
nodos, si su valor es 0 el grafo es nulo, si su valor es 1 el grafo tiene un solo circuito, y si
su valor se encuentra entre 1 y 3 es un grafo complejo, porque a mayor número de arcos,
mayor es la cohesión. Se calcula como: (ecuación 1).
La cohesión del grafo, se puede obtener también dividiendo el número de arcos por el
máximo posible de arcos multiplicado por el número de nodos del grafo, cuanto más se
aproxime este valor a 1, más conectado estará el grafo, se calcula como: (ecuación 2).
También puede obtenerse la cohesión del grafo calculando el valor porcentual de arcos
que debe introducirse en cada nodo para obtener un grafo integrado. Se calcula como:
(ecuación 3).
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Si el resultado se aproxima al 100%, se acercaría al caso ideal, lo cual los alejaría de los
casos reales.
3.2.3. Distancia.
Es la conexión directa entre dos o más nodos de un grafo, medida en términos de nodos
intermedios. Existen distintos tipos de métricas aplicables.
3.2.3.1 Distancia entre dos nodos
Madariaga y Ávila-Toscano (Madariaga y Ávila-Toscano, 2012) sostienen que el concepto
de distancia en los grafos no depende del espacio que lo contiene, sino de la distancia
que une a dos nodos, si existe algún camino o si no existe, en cuyo caso la distancia es
infinita. Para su cálculo se suma el número de vínculos o enlaces que existen en el
camino entre los nodos. En grafos dirigidos puede diferenciarse dos distancias, que no
tienen que ser iguales:
• la distancia que separa a un nodo de origen i de un nodo de destino j
• la distancia d que separa a un nodo de destino a un nodo de origen.
Si los nodos son adyacentes la distancia entre ellos es 1. Los distintos nodos están a
diferentes distancias unos de otros, esto es importante para entender las diferencias
entre ellos para señalar limitaciones y oportunidades que tienen como resultado de su
posición. También es interesante saber de cuantas formas posibles pueden conectarse
dos nodos con una distancia dada, puesto que un nodo origen puede llegar al nodo de
destino con distintas trayectorias. En ciertas ocasiones las conexiones múltiples indicam
un vínculo fuerte entre nodos una sola conexión. Si las distancias son grandes, una
información circulando en el grafo puede tardar mucho en difundirse, incuso algunos
nodos pueden no ser alcanzados. Si los arcos representan funciones de costo puede
ocurrir que sean accesibles, pero el costo sea demasiado alto. La variabilidad de las
distancias puede constituir la base de una diferenciación e incluso de una estratificación
del grafo. En relaciones de dependencia los nodos próximos tienen una mayor
capacidad de ejercer poder que aquellos que están más distantes (Hanneman y Riddle
2005).
La distancia 𝑑𝑖𝑠 o longitud que une dos nodos está dada por la distancia d entre dos
nodos 𝑛𝑖 y 𝑛𝑗 (con i origen y j destino) definida como el número de arcos de la trayectoria
más corta que los conecta, y se obtiene como: 𝑁 𝑑𝑖𝑠 = ∑ 𝑑(𝑖, 𝑗) 𝑖=1 𝑗≠𝑖
3.2.3.2 Distancia geodésica
Se mide el número de arcos de la trayectoria más corta posible desde un nodo a otro,
tanto sea un grafo dirigido o no, es ampliamente utilizada. Cuando se modela relaciones
entre individuos las distintas trayectorias pueden representar oportunidades y
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limitaciones. Por eso, de los distintos caminos geodésicos, el más corto es el óptimo o
más eficiente. Hanneman y Riddle (Hanneman y Riddle 2005) señalan que diversos
algoritmos usados para el análisis de grafos asumen que los nodos usan los caminos
geodésicos cuando existen varias alternativas.
Así se define la distancia 𝑑𝑖𝑠 𝐺 o trayectoria de mínima longitud geodésica, a la distancia
d más corta entre los nodos 𝑛𝑖 y 𝑛𝑗 en un grafo, medida por el número de arcos de la
trayectoria que llega de un nodo al otro, se puede expresar como: 𝑑𝑖𝑠 𝐺 = 𝑚𝑖𝑛 𝑑(𝑛𝑖 , 𝑛𝑗)
3.2.3.3. Distancia promedio o ruta media más corta
Es la trayectoria promedio 𝑑𝑖𝑠 𝑃 de las distancias más pequeñas entre dos nodos
cualesquiera del grafo, siempre que exista una trayectoria que conecte cualesquiera dos
nodos del grafo, se la llama también longitud media o la separación típica entre pares
de nodos 𝑛𝑖 y 𝑛𝑗 . Se se expresa como:
3.2.4. Diámetro.
Se define como la distancia geodésica 𝑑𝑖𝑠 𝐷 más larga que existe en un grafo conectado,
o como la distancia máxima entre cualquier par de nodos 𝑛𝑖 y 𝑛𝑗 del grafo. Esto explica
que tan grande es el grafo así medido (cuántos arcos se recorren para ir de un nodo a
otro). Se puede expresar como: 𝑑𝑖𝑎 𝐷 = 𝑚á𝑥 𝑑(𝑛𝑖 , 𝑛𝑗)
De allí que siempre se cumple 𝑑𝑖𝑠 G ≤ 𝑑𝑖𝑠 𝐷. El diámetro 𝑑𝑖𝑎 𝐷, también es una medida
útil para establecer el límite superior de las longitudes de las trayectorias que se
analicen. El diámetro del grafo, es una de las medidas de robustez, junto con el
coeficiente de agrupamiento y la distribución de grado. No debe confundirse el diámetro
entre dos nodos del diámetro de un grafo, definido como la mayor longitud de entre
todas las trayectorias más cortas posibles entre dos pares de nodos.
3.2.5. Densidad.
Es el número de arcos existentes entre todos los posibles, expresado como porcentaje.
Se calcula dividiendo el número de arcos R que por todos los arcos que podrían existir
en el grafo y multiplicándolo por 100. Puede calcularse para cada nodo y para todo el
grafo, sin el auxilio de algún software específico.
Hanneman y Riddle (Hanneman y Riddle, 2005) señalan que la densidad valora la fuerza
de los vínculos del grafo y su utilidad radica en que permite conocer la velocidad con
que se difunde información entre los nodos de un grafo que modeliza una organización,
además puede usarse para conocer el capital social y el nivel de coacción o presión entre
los individuos. El máximo número de arcos que puede tener un nodo de los N de un
grafo es: 𝑅 𝑚𝑎𝑥 = 𝑁 − 1
∑ ∑
j=1i= 1,i≠j
NN
𝑑
(
𝑛𝑖
,
𝑛𝑗
)
∗
𝑁
∗
(
𝑁
−1
)
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En un grafo con arcos bidireccionales, hay un máximo de relaciones posibles 𝑅𝑃 y para
un dado número de arcos existentes 𝑅𝑒, RP se obtiene multiplicando el número total de
nodos del grafo N( el número total de nodos) por N-1. Se expresa como: 𝑅𝑃 = 𝑁 (𝑁−1)
La densidad del grafo es: 𝐷𝑒𝑛 = 𝑅𝑒.100/ (𝑁.(𝑁 − 1))
Si un grafo es de tamaño 9, el total de relaciones posibles es 72, si existen 14 arcos la
densidad sería 19%.
Para arcos con flujos unidireccionales, RP será de: 𝑅𝑃 = 𝑁(𝑁−1)/2
Para mismo grafo de tamaño 9, el total de arcos sería 36, con los 14 arcos la densidad
será 39 %. El número de posibles relaciones lógicas crece exponencialmente a medida
que el número de nodos aumenta linealmente.
Arriagada (Arriagada et al.2004) señala que en modelos de organizaciones modelizadas
con grafos que estén más conectados y con gran integración, se tendrían más
posibilidades de difundir conocimiento e información que modelos con un alto grado de
unipolaridad y fuerte centralización, donde el dominio de un pequeño conjunto de
nodos bloquearía la circulación de la información. Por otra parte, cuando desarrollan
vínculos fuertes entran en riesgo de perder las ventajas de los lazos débiles, que
permiten un mayor flujo de información, aunque se convertiría en redundante si los
vínculos son siempre entre los mismos modos.
3.3. Núcleos del grafo.
El concepto de núcleo fue introducido por Seidman en 1983 y establece que un vértice
perteneciente a un centro y está unido al menos a otros vértices (Batagelj y Mrvar,
2004).
3.3.1. Grafo del Ego.
Es un grafo que se forma a partir de un nodo focal individual denominado Ego a partir
del cual se construye el grafo como muestra la figura 4, los nodos con los cuales el nodo
ego está directamente conectados se los llamas Alters (Herrero, 2000).
Figura 4. Grafo del Ego
El nodo Ego y todos con los que está conectado se denominan Vecindad. En análisis de
grafos, los límites del grafo del Eego se definen en términos de vecindarios y barrios, y
solo abarcan un paso, o sea, solo el Ego y los Alters adyacentes (Hanneman y Riddle,
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2005). La modelización que arroja un grafo egocéntrico, permite conocer el grado de
fortaleza del líder en el entorno modelizado, esta fortaleza está dada por la suma de
Alters alrededor del nodo Ego. Este grafo, permite estudiar cómo las relaciones de estos
individuos establecen distintas influencias en sus Alters, aquí la fortaleza de las
relaciones (arcos) puede ser nominal (arco en un solo sentido) o binaria (arco en ambos
sentidos); puede tener signo (según el valor asignado al arco); puede ser ordinal
(identificación del arco más fuerte); o con valor (asignando la intensidad de la relación
con un valor numérico); y según este valor, pueden ser débiles o fuertes.
3.3.2. Lazos fuertes.
Granovetter (Granovetter, 1973) señala que las organizaciones cuyos modelos de grafos
responden a este tipo, tienen relaciones se caracterizan por ser cercanas, solidarias,
especializadas y muy utilizadas, por ello no necesitan una administración muy sólida
para tener un buen funcionamiento. La principal desventaja es que son reactivas a las
innovaciones, pues los nodos presentas modos similares de pensamiento. Se representa
a los lazos fuertes de un nodo, por la suma de todas las relaciones especializadas
próximas de los nodos del grafo.
3.3.3. Lazos débiles.
Estos grafos representan organizaciones que ponen de manifiesto relaciones lejanas,
superficiales y que no se utilizan frecuentemente, por ello necesitan una buena
administración para que funcionen sin problemas. Inversamente a lo que ocurre con los
lazos fuertes, se fomenta la innovación, ya que la unión de diferentes modos de
pensamiento, con vínculos débiles tienden a actuar en forma igual al pasar el tiempo.
Los lazos débiles de un nodo se representan mediante la suma de todas las relaciones
superficiales de un nodo con todo el resto del grafo, y para identificarlos se sumatoria
de todos los arcos lejanos al nodo.
3.3.4. Vecinos cercanos.
Según Herrero (Herrero, 2000), esta clasificación se realiza según tenga nodos más cerca
en un grupo u otro. Es decir, se calcula la distancia del elemento uno de los existentes y
se ordena dichas distancias de menor a mayor para ir seleccionando el grupo al que
pertenece. El grupo de vecinos cercanos será, por lo tanto, el de mayor frecuencia con
menores distancias.
Altman (Altman, 1992), señala que el uso de algoritmos básicos de clasificación es poco
aplicable para casos reales, pues las relaciones no son paramétricas, y los algoritmos no
hacen suposiciones sobre la distribución subyacentes de datos. Sin embargo, aplicar
algoritmos es esencial para el reconocimiento de patrones, búsqueda semántica y
detección de anomalías. Hay dos decisiones importantes que deben tomarse antes de
hacer la clasificación, una es el valor de las relaciones k que se utilizará, esto puede
decidirse arbitrariamente, o se puede intentar una validación cruzada para encontrar un
valor óptimo según lo que ya habían expresado Cover y Hart (Cover y Hart, 1967). Como
alternativa Tsypin y Röder (Tsypin y Röder, 2007) proponen usa la distancia euclidiana
como evaluador, y que es, esencialmente la magnitud del vector obtenido al restar el
punto de datos de entrenamiento del punto a clasificar. Se expresa como:
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Este método estima el valor de la función de densidad de probabilidad o directamente
la probabilidad a posteriori de que un nodo pertenezca a una clase a partir de la
información proporcionada por un conjunto de prototipos. Esta métrica es usada como
método de clasificación de nodos basado en un entrenamiento mediante ejemplos
cercanos en el espacio de los nodos.
3.3.5. Jugadores periféricos.
Los nodos periféricos o nodos con baja centralidad, modelizan individuos considerados
de baja importancia. Aunque estos se pueden volver relevantes si se conectan con grafos
que no están actualmente mapeadas, convirtiéndose en recursos importantes para
obtener información actualizada no disponible dentro de la organización.
Freeman (Freeman,1978) sostiene que una métrica útil para identificar a los nodos
periféricos en un grafo es la centralidad del nodo que cuantifica la importancia
estructural de los individuos del grafo de acuerdo a sus relaciones. Sin embargo,
también son relevantes los trabajos sobre la identificación de grupos y jugadores
periféricos de Seidman (Seidman, 1983) y el de Borgatti y Everett (Borgatti y Everett,
1999), con los que se permiten distinguir entre nodos:
• localmente periféricos
• globalmente periféricos
En relación a las aplicaciones de estas medidas estructurales, se puede mencionar la
aplicación sobre el capital social realizado por Coleman (Coleman, 1990), Burt (Burt,
1992). Borgatti, Jones y Everett (Borgatti, Jones y Everett, 1998) también buscaron
identificar individuos (nodos) relevantes que pueden ser nodos periféricos. Aquí la
perspectiva se invierte, pues la pregunta acerca de qué características de un grafo
contribuye al nodo, cambia a que nodos son importantes para el grafo.
3.4. Subgrupos del grafo.
Un subgrupo es un subconjunto de los nodos de un grafo y todos los arcos que enlazan
estos nodos. Cualquier grupo de nodos puede formar un subgrupo. Dentro de este
análisis es relevante conocer los siguientes conceptos (Madariaga, Ávila- Toscano, 2012):
3.4.1. Camarilla.
Hawe (Hawe et al. 2004) la define como el conjunto de nodos donde todos ellos están
conectados entre así y se vincula con el resto de nodo del grafo por lo menos por uno
de ellos, así modeliza relaciones organizacionales conformadas por más de dos
individuos donde todos que se vinculan entre sí, conformando un subgrafo máximo
conectado. Según Mejía (Mejía, 2010) pueden ser considerado como un grafo completo
completando lo señalado por Herrero (Herrero, 2000) sobre que esta categoría
constituye un subgrupo cohesivo completamente conectado (todos los nodos están
interconectados).
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Las camarillas forman un subgrupo que puede dividirse del grafo, pues su constitución
está dada por un conjunto de nodos que están mutuamente vinculados. Para modelizar
este tipo de relaciones primero hay que identificar las relaciones de todos con todos,
para poder definir las sub agrupaciones (Madariaga, Ávila-Toscano, 2012).
3.4.2. Clan, racimo o Clúster.
Es una forma flexible para identificar subgrupos utilizando la información relacional del
grafo mediante un análisis por pasos que integra subgrupos de nodos de acuerdo al
nivel de similitud de los mismos y no requiere que los nodos, pertenezcan a la misma
camarilla, como se ve en la figura 5. El análisis se basa en la similitud y equivalencia de
relaciones entre nodos, lo que va formando clústeres diferentes, que se van agregando
a otros clústeres hasta integrar a todos los nodos del grafo.
Figura 5. Distintos cliques y Grafo con clústeres
Son muy útiles dado que facilitan la detección de secuencias de agrupamiento en donde
es posible observar la manera cómo los diferentes nodos se unen a subagrupaciones en
la medida que comparten características que los vinculan (Ávila-Toscano, Gutiérrez y
Pérez, 2011). Un ejemplo puede verse en la figura 6 que muestra diferentes tipos de
clúster, en este caso de figuras geométricas. En el primer agrupamiento se aprecia una
partición de figuras, en la segunda un agrupamiento anidado o clustering jerárquico y
en la tercera se representa un agrupamiento no anidado u overlapping clustering
(Leenen, 2015).
Figura 6. Distintos Grafos y clústeres
Girvan y Newman (Girvan y Newman, 2002) proponen como forma de representar
gráficamente estos clústeres a un dendrograma, que se muestra en la figura 7. Este es
un tipo de representación gráfica o diagrama de datos en forma de árbol que los
organiza en subcategorías que se van dividiendo en otros hasta llegar al nivel de detalle
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deseado. Con esta representación se puede apreciar las relaciones de agrupación entre
nodos e incluso entre grupos de ellos, pero no expone las relaciones de similitud o
cercanía entre categorías. Estas subdivisiones surgen de la aplicación de un algoritmo
de clustering jerárquico.
Figura 7. Dendrograma
Boden (Boden, Haag & Seidl, 2013) señala que el análisis de clúster consiste en encontrar
grupos dentro de un grafo según sus relaciones respondiendo a un algoritmo que
permite conocer los diferentes grupos a los que pertenece un nodo. La idea de pensar
a los grafos como conjunto de clústeres desafía a los modelos aleatorios y propone
indagar en patrones de conectividad y de agrupamiento.
3.4.3. Componentes.
Es una parte del grafo donde todos los nodos están conectados, directa o
indirectamente, al menos con una relación. Se puede considerar también como el
máximo subgrupo posible en cual se cumple que cada par de nodos se conecta por un
camino posible. En la figura 8 se ve en la primera imagen a un grafo con tres
componentes desconectados, la segunda a un grafo con dos componentes y en la última
un grafo de tres componentes (White, Schnegg y Brudner, 1999).
Figura 8. Distintos tipos de conexiones
3.4.4. Círculos o anillos.
Herrero (Herrero, 2000) la define como una cadena simple, cuyos dos vértices extremos,
inicial y terminal coinciden, sin tener en cuenta sus orientaciones, en un ciclo elemental
donde no se repite ningún vértice, salvo el primero que coincide con el último. La
cohesión de un círculo no radica en el nivel de contacto de sus nodos sino en la existencia
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de cadenas de vínculos que los ligan unos con otros. La medida con que se caracteriza
es el número de diferentes círculos formados por las aristas que forman el grafo.
3.5. Equivalencias de los nodos.
El método de análisis se basa en los lugares que ocupan los nodos o subgrupos de nodos
dentro del grafo, se ha estudiado desarrollando el concepto de que existen diferentes
tipos de equivalencias. Los modelos obtenidos agrupan nodos que son equivalentes o
similares, permitiendo conocer los roles estructurales y las posiciones que los nodos
presentan dentro del grafo. Así, este modelo es modo de describir la estructura de las
relaciones (Burt, 1987). En esta categoría pueden identificarse las siguientes
modalidades de análisis:
3.5.1. Equivalencia estructural.
Los nodos estructuralmente equivalentes son sustituibles entre sí, si ocupan la misma
posición en la estructura del grafo y están próximos ya que tienen el mismo patrón de
relaciones con los nodos de otras posiciones. En síntesis, dos nodos son
estructuralmente equivalentes si tienen relaciones idénticas con todos los demás nodos
del grafo (Park, 2006). En la figura 9 se muestra que los nodos A y B son estructuralmente
equivalentes porque A y B tienen el mismo patrón de vínculos con los otros nodos (nodos
C, D, E y F), por lo que A y B son sustituibles entre sí.
Figura 9. Nodos estructuralmente equivalentes
3.5.2. Equivalencia regular.
Herrero (Herrero, 2000) señala que la equivalencia regular ocurre cuando dos nodos
estructuralmente equivalentes se relacionan con otros que también son equivalentes
entre sí. O sea, cuando un grupo de nodos tienen a otro grupo de nodos similares a
distancias similares en sus vecindarios. Se diferencian de la equivalencia estructural,
pues los nodos son regularmente equivalentes si tienen vínculos similares con algún
nodo de otros conjuntos. La figura 10 muestra que los nodos A y B son regularmente
equivalentes, pero no estructuralmente equivalentes porque los nodos tienen el mismo
patrón de vínculos con diferentes nodos, A está conectado con C, D, E y B está conectado
con F, G y H. Los nodos A y B no son sustituibles entre sí porque tienen relaciones con
diferentes grupos de nodos (Park, 2006).
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Figura 10. Nodos regularmente equivalentes pero no estructuralmente
equivalentes
Burt (Burt, 1992) establece que la equivalencia estructural y regular son diferentes en
términos de redundancia de información. La equivalencia regular es estratégicamente
mejor que la equivalencia estructural porque los nodos regularmente equivalentes
tienen fuentes de información no redundantes, mientras que los nodos
estructuralmente equivalentes tienen las mismas fuentes de información. En el ejemplo
anterior, los nodos A y B muestran cuatro fuentes de información redundantes mientras
mantienen cinco relaciones, comparten seis fuentes diferentes de información, mientras
que cada una de ellas mantiene cuatro relaciones. Park (Park, 2006) señala que la
diferencia entre equivalencia estructural y regular puede explicarse por la sustituibilidad
entre nodos equivalentes estructurales y la redundancia de información en nodos
equivalentes estructurales.
3.5.3. Agujeros estructurales.
El método consiste en encontrar espacios del grafo conectadas entre nodos. La figura
11 sugiere que podrían ser usados para obtener ventajas y nuevas oportunidades.
Figura 11. Agujero estructural
Un agujero estructural también aparece cuando no hay redundancia en la comunicación
entre varios nodos, y como los nodos centrales que unen los diferentes elementos del
grafo, estos concentran la capacidad de comunicar a otros nodos actuando como
enlaces. La modelización de estructuras organizacionales sugiere que estos individuos
(nodos) tratan que haya oportunidades para la mayor parte de los miembros de la
organización para recibir información de los otros. Álvarez (Álvarez, 2019) postula que
los nodos centrales también son los que definen la relación puente existente entre
diferentes grupos que participan de flujos de información diferentes. Los grafos que
muestren un alto número de agujeros o huecos estructurales pueden proporcionar
información más variada, menos redundante, que aquellos con menos agujeros
estructurales.
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3.6. Descomposición del grafo.
Según Newman (Newman, 2006), es la separación de un grafo en grupos o comunidades
que lo forman, y consiste en dividir grandes grafos en otros más pequeños para aplicar
métodos de análisis más sofisticados. Existen nodos que se sitúan de forma natural en
grupos o comunidades, los arcos dentro de las zonas son numerosos mientras que
existe solo un pequeño grupo de arcos entre los diferentes grupos. Así en el grafo de la
figura 12 se detectan tres comunidades diferenciadas, en donde se supone que los
nodos de cada una de ella tienen alguna característica o atributo en común. Un módulo
incluye un subgrupo de nodos del grafo que muestra un nivel relativamente alto de
conectividad dentro del módulo y un nivel relativamente bajo de conectividad inter
modales.
Figura 12. Módulos con distintas conectividades
3.6.1. Estructura de las comunidades.
Siguiendo a Herrero (Herrero, 2000) quien los llama subgrupos cohesivos, estas
estructuras incluyen a un subconjunto de nodos del grafo que muestran un nivel
relativamente alto de conectividad dentro del módulo, y un nivel relativamente bajo de
la conectividad intermodales. También mide el nivel de descomposición del grafo en
grupos o comunidades modulares. Una alta modularidad indica una sofisticada
estructura interna, basándose en la idea de que los nodos contenidos dentro de una
misma comunidad comparten atributos, características o relaciones fundamentales. Se
entendiendo aquí, como comunidad, a aquel subgrupo en el que los vértices deben estar
más relacionados entre sí que con el resto de los vértices del grafo.
El análisis se centra en comparar enlaces internos de una comunidad frente a los enlaces
que conectan la comunidad con el resto del grafo y buscar medir la fuerza de la división
del grafo en módulos. Los grafos con alta modularidad tienen conexiones densas entre
los nodos dentro de los módulos, pero escasas conexiones entre los nodos en diferentes
módulos. En el análisis se utilizan métodos de optimización para la detección de
estructuras y se ha demostrado que estas sufren de un límite de resolución y son
incapaces de detectar pequeñas comunidades, como ocurre al modelizar estructuras
biológicas. Dentro de la teoría de grafos se tiene diferentes métodos para el análisis y
detección de comunidades, los que se pueden agrupar en dos tipos métodos:
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3.6.1.1. Métodos jerárquicos
Csardi y Nepusz (Csardi y Nepusz, 2006) propusieron buscar las divisiones naturales en
el grafo, basándose en una estructura jerárquica. Existen varios algoritmos que se
aplican a este tipo de método, sin embargo, en el software existente que se usa para la
investigación se propone una aproximación jerárquica creciente, con lo cual se optimiza
la función de calidad. Se la llama “fastgreedy” o modularidad codiciosa. Con este enfoque
se detecta comunidades de abajo hacia arriba en lugar de arriba hacia abajo, pues
inicialmente cada nodo pertenece a una comunidad separada y posteriormente las
comunidades se unen de un modo iterativo haciendo que cada unión sea un óptimo
local, o sea, que cada comunidad da el mayor valor posible al valor actual de
modularidad.
Este método es rápido y se aplica como una primera aproximación debido a que no tiene
que ajustar parámetros, pero tiene un límite de resolución debido a que las
comunidades por debajo de un umbral dado, se fusionarán con las comunidades
vecinas. El algoritmo se detiene cuando ya no es posible aumentar la modularidad,
proporcionando una agrupación máxima y un dentograma, cuya forma de árbol permite
apreciar las derivaciones de agrupación entre los nodos e incluso entre grupos de ellos,
aunque no en las relaciones de similitud o cercanía entre categorías. Se puede observar
las sucesivas subdivisiones en la figura 13 que muestra las agrupaciones que surgen por
la aplicación de un algoritmo de clustering jerárquico. La primera figura representa un
primer recorrido amplio o nivel ordenamiento transversal y en la segunda el recorrido
es de mayor profundidad en los primeros recorridos desde la raíz, y luego de izquierda
a derecha.
Figura 13. Distintas agrupaciones obtenidas por clústering
3.6.1.2. Métodos modulares
En estos paquetes de software se propone el método de “spinglass” o vidrio giratorio,
donde cada arco puede estar en uno de los estadios de giro, se especifica qué pares de
arcos preferirían permanecer en el mismo estado de giro y cuáles prefieren tener
diferentes estados de giro. El método es particularmente rápido y no es determinista
pero tiene un parámetro de resolución ajustable que determina los tamaños del clúster.
Una variante del método también puede tener en cuenta los enlaces negativos. En la
figura 14 se muestra el ordenamiento de las comunidades, correspondiente a un patrón
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de incorporación mediante la orientación del nodo, lo cual enfoca la búsqueda hacia
regiones específicas del grafo.
Figura 14. Distintos ordenamientos en comunidades
3.6.2. Centros estructurales.
Herrero (Herrero, 2000) llamó así al nodo sobre el cual convergen el conjunto de nodos
de la organización del grafo, por ello esa denominación, generalmente corresponden a
nodos de alto grado que se conectan principalmente a los nodos en el mismo módulo.
3.6.3. Centro absoluto.
Madariaga y Ávila-Toscano (Madariaga y Ávila-Toscano, 2012) señalaron que es posible
que la centralización sea aún más extendida y que el grafo se organice de acuerdo a un
solo punto y no a un conjunto de ellos, en este caso se lo denomina el centro será
absoluto como lo muestra la figura ya mencionada. En un modelo de una organización
estas medidas permiten identificar las limitaciones y oportunidades de los individuos
modelizados.
3.6.4. “Hub” conector.
Según Herrero (Herrero, 2000), son nodos de alto grado que muestran un perfil de
conectividad diversa mediante la conexión a varios módulos diferentes dentro del grafo.
Para Barabási (Barabási, 2003) lo que interesa, es cómo se construyen en su relación
dinámica con los demás nodos y determinan procesos de auto organización y
crecimiento del grafo. Se encuentran en numerosos y diversos sistemas complejos,
desde la economía hasta biología celular. Los hubs”, al estar altamente interconectados,
se constituyen en los nexos mediante los cuales un grafo disminuye drásticamente la
distancia geodésica entre sus nodos, y es a través de ellos que la mayoría de los nodos
se pueden conectar unos con otros. También muestran las debilidades del grafo, ya que
si son removidos el grafo colapsa o aumenta en mucho su distancia geodésica. Con lo
que se demuestra que, al modelizar organizaciones, a pesar de las apariencias, en todos
los modelos en que se presentan “hubs”, hay una completa ausencia de democracia,
equidad e igualdad.
Lo importante del grafo obtenido de la modelización, no es tanto su tamaño, sino
también su conectividad, puesto que, si se estructuran en torno a clústeres, solo a través
del vínculo con un “hub” que dinamice la conectividad entre diversos clústeres, puede
formarse un gran grafo, dicho de otro modo, los “hubs” juegan un rol central en la
transición de fase.
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Para entender el desempeño de los “hubs”, Aguirre (Aguirre, 2011) señala que los
estudios empíricos sobre los grafos de todo tipo ya sea biológicos, sociales, etcétera,
presentan “hubs” en su topología. Como dominan la estructura de todos los grafos en
los que están presentes, haciéndolos funcionar finalmente como mundos pequeños. Por
lo que identificar y entender el rol de los “hubs”en los grafos permitirá descubrir su
lógica de funcionamiento e identificar los nodos que dinamización las relaciones,
transacciones y difusión de información.
3.6.5. “Hubs” que trascienden límites.
Según Herrero (Herrero, 2000) son aquellos nodos que pueden llegar a conectar su
módulo o grupo a otros que terminan teniendo altas métricas en el grafo. En modelos
organizacionales estos nodos están posicionados para ser innovadores, dado que ellos
acceden a ideas e información de otros clústeres. También pueden estar en una posición
estratégica para combinar diferentes ideas y conocimientos en nuevos productos y
servicios.
3.6.6. Coeficiente de agrupamiento.
Watts y Strogatz (Watts y Strogatz, 1998) señalan que este coeficiente es una medida
que cuantifica el grado en el que los nodos del grafo tienden a agruparse o a
interconectarse entre ellos. Estos grafos se caracterizan por una densidad relativamente
alta de enlaces. Se los utiliza para determinar qué tan integrado está un grupo, el que
se obtiene dividiendo el número real de vínculos entre los nodos y el número máximo
potencial de vínculos entre esa misma cantidad de nodos. Según Aguirre (Aguirre, 2011),
esto permite probar hasta qué punto se mueve en grupos relativamente cerrados.
En términos generales, el coeficiente de agrupación se calcula como la proporción de las
conexiones entre sus vecinos que en realidad se realizan, en comparación con el número
de todas las conexiones posibles. Un ejemplo típico se aprecia en la figura 15 donde en
la primera imagen presenta un nodo remarcado con tres vecinos, que pueden tener un
máximo de tres conexiones entre ellos, las tres conexiones posibles, dan un coeficiente
uno. En la siguiente imagen se realiza solo una conexión, con dos sin conectar, dando
un coeficiente de un tercio. Por último, en la última imagen ninguna de las posibles
conexiones entre vecinos del nodo remarcado se realiza, por lo que el valor del
coeficiente es 0.
Figura 15. Distintos coeficientes de agrupamiento
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Desde la mirada de un grafo G con N nodos, el coeficiente de agrupamiento también
muestra la presencia de un alto número de triángulos sobre los tripletes del nodo. La
figura 16 muestra a la izquierda una triada o triplete, que es un conjunto de tres nodos
y dos aristas, conformada por los nodos A, B y C, donde A esta conectado con B y C, y a
la derecha presenta un triángulo que corresponde a un conjunto de tres nodos
conectados a un arco de distancia entre ellos, y que se compone de las siguientes tres
triadas o tripletes, BCA, ACB y CBA.
Figura 16. Triada o triplete abierto y cerrado
El coeficiente se subdivide entre agrupamiento global y el local, el primero para dar una
indicación general de la agrupación en el grafo, el segundo una indicación de la
incrustación de los nodos de forma individual. Formalmente el coeficiente de
agrupamiento global 𝐶𝑜𝑒𝑔𝑙𝑜 se define como: (ecuación 4).
Donde el factor tres compensa que cada triángulo contribuye con tres tripletes
conectados (uno centrado sobre cada uno de los tres nodos) y asegura que 0 <= T <= 1.
Cuando T = 1 se tiene el clique 𝐾𝑛 . Esta medida también representa la probabilidad de
encontrar triángulos en el grafo. Para el caso particular de un nodo del grafo, el cociente
indica en qué medida los vecinos de un nodo son vecinos entre sí, para lo cual se calcula
el coeficiente de agrupamiento local 𝐶𝑜𝑒𝑙𝑜𝑐 , y está dado por: (ecuación 5).
Donde 𝐸𝑖 son los pares de vecinos o los arcos entre los vecinos de i y 𝐾𝑖 el grado del nodo
i, es decir, la proporción de arcos presentes con respecto a todos los posibles arcos, por
lo que también representa una medida de densidad local. La fórmula anterior entrega
información del clustering local por nodo, para obtener el coeficiente de agrupamiento
del grafo se puede calcular el promedio (ecuación 6).
Wasserman y Galaskiewicz (1994) señalan que esta medida da una indicación de la
agrupación en el conjunto del grafo y se puede aplicar tanto a grafos no dirigidos como
dirigidos.
3.7. Centralidad de los nodos.
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Es una las ideas que surgieron de los primeros estudios y respecto a su medición existen
diversas propuestas para caracterizar las posiciones estructurales de los nodos en los
grafos. La centralidad puede calcularse con diferentes medidas, que dan lugar a
diferentes conceptos de centralidad. Para Freeman (Freeman, 1978) una es la de
centralidad de grado y corresponde al número de nodos a los cuales un nodo está
directamente unido, o las medidas en términos de la cercanía de cada punto respecto a
los demás; así mismo, sobresale la medida basada en la idea de intermediación, que
determina en qué orden un nodo hace de intermediario entre otros nodos por estar
situado en el camino entre ellos.
Polanco (Polanco, 2006) señala que la centralidad es el número de lazos, uniones,
enlaces o vínculos directos de un nodo en el grafo, la intermediación significa que un
nodo se encuentra entre otros dos nodos en el grafo, la cercanía es la distancia entre un
nodo y resto del grafo. Estas son tres propiedades estructurales características de los
miembros de un grafo. La elección de un atributo estructural particular y su medida
asociada depende de lo que busca analizar el grafo, si se trata de evaluar la capacidad
de comunicación de que un nodo, se impone la medida basada en el grado, si lo que
interesa es el control de la comunicación, la medida apropiada es la intermediación y si
se trata de la independencia de un nodo, esto conduce a la elección de la medida basada
en la cercanía o proximidad.
Según Van den Heuvel y Sporns (Van den Heuvel y Sporns, 2013), previo a describir
medidas de centralidad, se debe recordar los atributos básicos de un grafo. La figura 24
representa un grafo que puede ser descripto y analizado, y que comprende a un
conjunto de nodos y una colección de enlaces que describen las conexiones
estructurales o relaciones funcionales. La disposición de los nodos y los enlaces define
la organización topológica del grafo, en el cual los nodos de bajo grado son nodos que
tienen un número relativamente bajo de los enlaces, y los nodos de alto grado son nodos
que tienen un número relativamente alto de enlaces.
3.7.1 Grado de centralidad
Herrero (2000) señala que es una de las medidas más extendidas y simple, ya un punto
es central si esta adecuadamente conectado los nodos de su entorno. Según Madariaga
y Ávila-Toscano (Madariaga y Ávila-Toscano, 2012), la centralidad se asocia a la
centralidad relativa de los puntos de un grafo, y se define como el número de enlaces
que posee, es decir, el número de relaciones que tiene el nodo con otros nodos, por lo
que representa la actividad o “popularidad” que se tiene al interior del Grafo.
Hanneman y Riddle (2005) definen la centralidad de grado como el nodo relacionado
con aquellos otros que tienen más vínculos con otros nodos. En un modelo de una
organización, estos nodos pueden ser más privilegiados que otros debido a que tienen
más lazos de interacción y diversas formas de satisfacer las necesidades que demandan,
por lo tanto, son menos dependientes de otros. Debido a las numerosas relaciones estos
individuos pueden tener acceso a los recursos disponibles, donde a menudo son
intermediarios y negociadores de los intercambios. En un grafo no dirigido se define el
grado de un nodo i como el número total de aristas incidentes en dicho nodo y se denota
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por 𝑘𝑖. En un grafo dirigido se distingue entre el grado entrante de un nodo calculado
como el número total de nodos que apuntan ha dicho nodo. representado por k-in y el
grado saliente, representado por el número total de nodos a los que apunta el nodo i y
se denota por k-out. En el caso de grafos no valorados el grado de un nodo se puede
calcular directamente a partir de la matriz de adyacencia, la cual es una matriz cuadrada
que se utiliza como una forma de representar las relaciones binarias.
Para un grafo no dirigido se tiene:
En un grafo simple no dirigido ki ∈ [0; N - 1], siendo N el número de nodos de la
componente conexa. Mejía (Mejía, 2010) por su parte, argumenta que si bien en un
grafo el grado es el número de nodos a los cuales un nodo está directamente unido
como muestra la figura 17, el grado de un nodo puede ser dividido en grado de
entrada y de salida, dependiendo de la dirección del flujo.
Figura 17. Grado de centralidad
3.7.2. Grado de centralidad de entrada.
Es el total de arcos (o relaciones) referidas por los demás nodos, hacia un determinado
nodo, también definido como grado de entrada de un vértice, de acuerdo al número de
líneas que poseen a ese como nodo terminal como muestra la figura 18.
Figura 18. Grado de centralidad de entrada
Matemáticamente se expresa como:
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En un grafo simple dirigido k-in i ∈ [0; N - 1], siendo N el número de nodos de la
componente conexa.
3.7.3. Grado de centralidad de salida
Abarca los arcos referenciados por un determinado nodo con los demás nodos del
grafo, es la suma de relaciones que los nodos tienen con el resto y definido como el
grado de salida de un vértice es el número de líneas que lo poseen como nodo inicial,
como se muestra en la figura 19.
Figura 19. Grado de centralidad de salida
Matemáticamente se expresa como:
En un grafo simple dirigido k-out i ∈ [0; N - 1], siendo N el número de nodos de la
componente conexa.
3.7.4. Grado de centralidad de cercanía o proximidad
El concepto de distancia se refiere a encontrar el camino más corto de conexiones de
cualquier nodo. Si se divide uno por el camino más corto promedio de un nodo a todos
los demás nodos del grafo, entonces se ha calculado su centralidad de cercanía. De esta
forma, un nodo con un vínculo directo con todos los demás, termina con un puntaje de
cercanía de uno, y no depende de ninguno para llegar a todos los otros. Por otra parte,
los nodos que se conectan con la mayoría a través de muchos intermediarios obtienen
puntajes de cercanía cada vez más cercanos a cero.
Según Freeman (Freeman, 1979), la cercanía Cer(𝑛𝑖) de un nodo i al grafo G es el
promedio de la separación, definida como el inverso de la distancia entre ellos, de i a
cada uno de los nodos del grafo. De acuerdo a Mejía (Mejía, 2010), esta medida, se
calcula contando todas las distancias geodésicas de un nodo para llegar a los demás y
determina el nivel de proximidad o distancia que tiene un nodo con los demás del grafo,
siendo el grado de cercanía el que mide la capacidad de un nodo de llegar a todo los
restantes.
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Herrero (Herrero, 2000) sostiene, que los nodos con una alta cercanía a la centralidad,
los que a pesar de tener pocas conexiones, sus arcos permiten llegar a todos los puntos
del grafo más rápidamente que desde cualquier otro punto. Por lo que representan una
excelente posición para monitorear el flujo de información de todo el grafo y tienden a
ser influyentes e importantes dentro de su comunidad. En modelos sociales estos nodos
son figuras públicas, que son respetados localmente y ocupan caminos cortos para la
difusión de información dentro de su comunidad, y al igual que con el grado de
centralidad, la cercanía también puede ser de entrada y salida.
3.7.5. Grado de centralidad de cercanía de entrada.
Según Madariaga y Ávila-Toscano (Madariaga y Ávila-Toscano, 2012), esta medida
permite identificar, a través de las entradas, el nivel de proximidad o distancia que tiene
un nodo con los demás nodos del grafo, además representa la percepción que tienen
los nodos internos del grafo de los procesos y la tendencia a agruparse (condiciones
gregarias) que se presentan, es decir, que tanta relación hay entre los nodos del grafo.
3.7.6. Grado de centralidad de cercanía de salida.
Siguiendo a Madariaga y Ávila-Toscano, esta es la medida que permite identificar a
través de las salidas el nivel de proximidad o distancia que tiene un nodo con los demás
nodos del grafo, además representan y hace referencia a las percepciones que tienen
los nodos dentro de él, acerca de las relaciones sostenidas con los demás nodos, en
síntesis, define que tan cercano percibe a los demás nodos cada nodo del grafo.
3.7.7. Grado de centralidad de lejanía.
Mide la incapacidad de un nodo de acceder al resto de nodos del grafo, que viene a ser
lo opuesto al grado de centralidad de cercanía. Para calcularlo se suma en primer lugar
todos los geodésicos que unen un nodo con el resto, lo que expresa el número de pasos
necesarios para alcanzar a los restantes nodos (Madariaga y Ávila-Toscano, 2012). Este
cálculo, solo suele realizarse en casos muy puntuales, puesto que las medidas que
prevalecen son la de cercanía.
3.7.8. Grado de centralidad de intermediación.
Se obtiene al contar las veces en que un nodo aparece en los caminos que conectan
todos los pares de nodos del grafo, también se los llama nodos puentes, para lo cual
considera todos los posibles caminos o rutas más cortas entre todos los pares posibles.
Cabe remarcar que para que un nodo tenga grado de intermediación en un grafo, por
lo menos debe tener un grado de entrada y de salida, por lo tanto, para calcular la
centralidad de la intermediación, se comienza por encontrar todos los caminos
geodésicos entre dos nodos en el grafo y luego cuenta el número de estas rutas más
cortas que atraviesan cada nodo. El resultado de este cálculo permite encontrar a los
nodos que son conductos necesarios para la información que debe atravesar partes
dispares del grafo. Por lo general, estos son nodos diferentes de aquellos con una mayor
cercanía., puesto que los nodos de alta interdependencia generalmente no tienen un
camino promedio más corto para todos los demás, pero tienen la mayor cantidad de
caminos más cortos que deben pasar por ellos.
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En una modelización de una organización se suele encontrar nodos de alta
interdependencia en las intersecciones de las comunidades de grafos más densamente
conectados, como se muestra en la figura 28, que actúa como puentes entre los clústeres
del grafo. Estos nodos están bien posicionados para realizar funciones de conexiones en
estos clústers en el sentido de que conectan nodos que de otro modo estarían
desconectadas y que aún pueden beneficiarse de un intercambio de Información.
De acuerdo a Hanneman y Riddle (Hanneman y Riddle, 2005), la ubicación de los nodos
en relación a que tanto un punto actúa de intermediario con otro en el grafo, se
desprende dos tipos de centralidad de intermediación:
• La basada en la frecuencia en la que un nodo aparece en camino entre dos
nodos, es decir, las veces en que se presenta entre un nodo con trayectoria
mínima.
• La basada en la importancia que tiene una arista con respecto a una trayectoria
mínima, es decir, las veces en que un enlace se presenta en medio de una
trayectoria mínima.
Según Hawe (Hawe et al., 2004), se trata de una medida que facilita las posibilidades de
control pues identifica cómo un nodo que tiene alto contenido de intermediario regula
el flujo de los contenidos y recursos que se conectan entre uno y otro nodo. Madariaga
y Ávila-Toscano (2012) señalan que existen grafos que por su tendencia al cierre y la
facilidad de los contactos entre nodos no cuenta con indicador de intermediación, en
este caso todos los nodos tienen posibilidades de acceder a todos los contactos lo que
hace que la medida de intermediación sea igual a cero, en la que además no se
identifican subgrupos.
Un nodo con alta intermediación tiene una gran influencia en los desplazamientos de
otros nodos a través del grafo, asumiendo que cada nodo se desplaza siguiendo los
caminos más cortos. Freeman (1978) señala que un nodo con un alto grado de
intermediación, suele llamarse intermediador broker, puesto que si se quita del grafo
este se divide en componentes. En modelos organizacionales los intermediarios a
menudo son fundamentales para la colaboración entre departamentos y para mantener
la difusión dentro de la organización, debido a su ubicación entre las comunidades del
grafo, ya que son agentes naturales de información y colaboración (Herrero, 2000).
3.7.9. Grado de centralidad del auto-vector.
Martinez y Sanabria (2008) proponen, que otra forma de pensar la centralidad, es
mediante los auto-vectores, estos vectores son un segmento de línea que con dirección
y sentido que representan una magnitud física definida en un sistema de referencia que
se caracteriza por tener longitud, dirección y orientación. Aunque, en general, la imagen
de un vector bajo una transformación de un espacio vectorial en sí mismo no es un
vector paralelo al vector inicial, existen vectores especiales para los cuales la acción de
la transformación es sencilla, ya que el vector y su imagen tienen la misma dirección,
estos vectores especiales se denominan auto-vectores y permiten un análisis sencillo de
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la transformación puesto que, en la dirección de ellos, la transformación solo encoge o
dilata los vectores.
García y Domínguez (2012) definen a los auto-vectores como los vectores no nulos que,
cuando son transformados por un operador, dan lugar a un múltiplo escalar λ de sí
mismos, con lo que no cambian su dirección. Un auto-espacio está asociado al valor
propio λ es el conjunto de auto-vectores con un auto-valor común.
El valor de la centralidad de los auto-vectores corresponde al valor que se obtiene para
los nodos si se comienza construyendo las conexiones por pares entre todos los nodos
de un grafo asignando un uno para conectado, y cero para no conectado. Luego se
asigna un solo número a cada nodo mientras se intenta mantener las distancias entre
estos nuevos valores iguales a las distancias observadas en la matriz de conexiones. Esto
no puede expresar en un único valor numérico por nodo, pero se puede representar un
conjunto de conexiones o distancias asignando tantos vectores, como cadenas de
números exista para cada nodo.
Gaete y Vásquez (Gaete y Vásquez, 2008) señalan que en la medida en que un nodo
relevante está conectado con otro modo relevante, se puede determinar cuán bien
conectado está este nodo con las partes del grafo. Los nodos con valores altos en sus
auto-vectores tienen un mayor número de conexiones, y a la vez sus conexiones también
presentan un mayor número de conexiones, y así sucesivamente.
En modelos organizacionales, los nodos con alta centralidad de auto-vectores son
líderes y a menudo son figuras destacadas con alto nivel de conexiones con otros nodos
de alto perfil y a menudo desempeñan papeles de líderes de opinión y forman la opinión
pública.
Ruhnau (2000) señala que esta medida de influencia, asigna valores relativos a todos los
nodos del grafo basándose el concepto de que las conexiones a los nodos de alta
puntuación contribuyen más a la puntuación del nodo. Sin embargo, los nodos con altos
valores no necesariamente desempeñan las funciones de alta cercanía, ni tienen la
mayor influencia local, incluso pueden tener un potencial de intermediación limitado, y
a veces pueden estar aislados de nodos periféricos.
3.8. Centralización del grafo.
Freeman (Freeman, 1978) propone utilizar el término centralidad aplicado a todo el
grafo, donde un grafo puede ser centralizado o descentralizado. Esta es una medida de
posición en el grafo y determina la importancia e influencia de un nodo a nivel de todo
del grafo y la relación entre todos los nodos, lo cual también puede revelar importante
información sobre su estructura global. En grafos con alta centralización estos son
dominados por uno o pocos nodos, ahora si esos nodos son removidos, el grafo se
fragmentará en subgrupos desconectados. Por otro lado, un grafo con baja centralidad
no tiene un único punto de falla por lo que son más resistentes. Se considera que una
centralización de grado fuerte, es una indicación de comunicación activa entre todos los
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nodos, mientras que una centralización de fuerte proximidad o intermediación traduce
el hecho que un número pequeño de nodos controla esta comunicación.
Al igual que con la centralidad, existen tres medidas de la centralización y cada una
corresponde a una de las propiedades utilizadas para definir la centralidad de los nodos
del grafo: grado de centralización, grado de centralidad de cercanía y el grado de
centralización de intermediación.
3.8.1. Grado de centralización
Es una condición especial en la que un nodo ejerce un papel claramente central al estar
conectado con todos los nodos del grafo, los cuales necesitan pasar por este para
conectarse con otros. En la figura 22 se observan las tres topologías según los grafos en
los que Paul Baran (Paul Baran, 1964) presentaba la estructura que debía tener ArpaNet,
hoy Internet, que abrió la posibilidad de un mundo comunicado y organizado en redes
sociales distribuidas.
Ugarte (Ugarte, 2007) señala que para el estudio hay diferentes tipos de centralización.
El caso estrella presenta una centralización o un índice de centralización del 100%,
mientras que la poligonal muestra una centralización de 0%. Este índice aplica al total
del grafo.
Figura 22. Estructura prevista de ArpaNet modelizada con Grafos
Dentro del análisis de centralización, existen los grados de centralización de entrada y
de salida, y el uso de uno o del otro dependerá de la necesidad de resultados específicos
que se requiera del análisis del grafo:
• Grado de centralización de entrada. Es la medida que permite
identificar a un nodo a través de las entradas.
• Grado de centralización de salida. Es la medida que permite
identificar a un nodo a través de las salidas.
3.8.2 Grado de centralización de cercanía.
Mide el nivel general de cercanía en un grafo.
3.8.3. Grado de centralización de intermediación.
Mide el nivel general de intermediación en un grafo.
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3.9. Eficiencia del grafo.
La gran complejidad que pueden tener los grafos, que presentan un diseño particular
según zonas y condicionantes específicos de los sectores a modelizar, generan cada vez
más dificultades para su gestión y uso eficiente. La eficiencia es una medida que se
emplea para desplazarse por el grafo, asumiendo un recorrido mínimo y constante, y se
calcula como la suma de los inversos de las distancias entre todos los pares de nodos,
normalizado por el número total de pares que se pueden formar, esto se calcula como:
Bautista (Bautista, 2018) señala que como medida de la calidad de un grafo, ha sido
utilizada en el estudio de las redes neuronales, las de comunicación y transporte. Una
vez establecido estos valores de accesibilidad del grafo, también es posible determinar
las distancias ideales di y distancias reales dr, las cuales constituyen otra alternativa para
conocer la eficiencia del grafo.
3.10. Resumen de métricas e indicadores
Tabla 2. Métricas e indicadores para el análisis de grafos.
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4. Conclusiones
La importancia que tienen las métricas es que permiten efectuar las mediciones para
cuantificar la estructura y los patrones de las relaciones entre los nodos. Siendo
primordial conocer los las relaciones entre los individuos que son modelizados por un
grafo como así también la estructura de las relaciones. Además, es posible visualizar
estas relaciones y revelar los roles de los individuos, ya que como ya se visto, existe un
número extenso de métricas para estudiar distintas propiedades del grafo que modeliza
a una organización.
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